Тре­уголь­ни­ки ABO и AOC равны по трем сто­ро­нам: AB  =  AC по тео­ре­ме о ка­са­тель­ных к окруж­но­сти, про­ве­ден­ных из одной точки, BO  =  OC как ра­ди­у­сы одной окруж­но­сти, AO  — общая сто­ро­на. По­это­му ∠BAO = ∠CAO  =  25°. Угол ABO равен 90°, так как ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су окруж­но­сти, про­ве­ден­но­го в точку ка­са­ния, по­это­му угол AOB равен 65°.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей: Обо­зна­чим AB за x, тогда Тогда: при этом По­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO имеем: Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC: В от­ве­те не­об­хо­ди­мо при­ве­сти зна­че­ние вы­ра­же­ния 5S, т. е.

Ответ: 6.

От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны, по­это­му AB = AC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем длину от­рез­ка AK:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Про­ве­дем OС  =  OВ  =  R. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник OBC  — рав­но­бед­рен­ный. Най­дем угол BOC  =  180° − 2 · 33°  =  114°. В че­ты­рех­уголь­ни­ке OBAC углы ОВА и ОСВ  — пря­мые так как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный к ка­са­тель­ной в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ей. Таким об­ра­зом, угол А  =  360° − 180° − 114°  =  66°.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Обо­зна­чим концы хорды А и В, центр окруж­но­сти  — О. Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB, в тре­уголь­ни­ке AOB про­ве­дем вы­со­ту OH. Тре­уголь­ник AOB  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му OH  — ме­ди­а­на, AH  =  HB. Длина хорды AB равна 2 + 12  =  14, тогда AH  =  7. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AOH:

Пусть M  — точка пе­ре­се­че­ния диа­мет­ра окруж­но­сти и хорды AB. Угол HMO равен 60°, по­это­му угол HOM равен 30°. Тогда а зна­чит, Сле­до­ва­тель­но,

По свой­ству пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд от­ку­да Под­став­ляя в (⁎), по­лу­ча­ем:

Тогда

Ответ: 124.